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化学

数の不思議に触れることができる心強い味方

科学の基本は当たり前のことを疑うことだといいます。騙されたと思って身の回りで当たり前のことを疑ってみれば、時はさかのぼり小学校の算数で「1+1=2」という式があったことを思い出す・・・。今さら当たり前のような気がするけれど、1+1はどうして2なのか?

 

「1足す1が2であることを証明してください!」と言われたら、あなたはどのように証明してみせますか?

 

りんご1個と1個を合わせたら2個になります。

これを式で表すと、1+1=2になります。これも1つの証明方法かもしれません。

 

しかし、こんなふうに考える人がいたらどうなるのか?「そもそも1とは、2とは何なのか・・・」と。

 

りんごを見たことがない人、宇宙人には、どのように説明したらよいでしょうか?古代ギリシャ時代には、数学には証明は必要とされておらず、全てを論理的に説明するという形は取られていませんでした。

 

私たちが小学校や中学校で習うように証明を重視するスタイルを確立させたのは、紀元前5〜6世紀頃のピタゴラス学派という人たちです。

 

時代は下って、数学の一分野を純粋に記号と証明のみによって構成しようとした世代が現れました。その一人が19世紀イタリアの数学者、ジュゼッペ・ペアノです。ペアノはりんごのような具体的なものを使わず、1、2、3のような自然数がどのようなものかを言葉と記号だけで定めたのです。

 

ペアノによる自然数の定義と、それを用いた1+1=2の証明。証明が苦手な人でも大丈夫です。そこは記号と約束の世界なのです😉

 

「1+1=2」という式には1と2という数字、+という記号が含まれています。まずは数字に注目してみます。1や2のように、0より大きい整数のことを自然数と呼びます。ペアノはこの自然数がどのようなものかを、「ペアノの公理」という5つの約束で定めたのです。

<ペアノの公理>

次の性質をもつ集合Nを考える。

(1)集合Nは1という要素をもつ。
(2)集合Nの各要素に対し、その後に続く数が1つだけある。
(3)互いに異なる要素の後に続く数は、互いに異なる。
(4)1を後に続く数とする要素は存在しない。
(5)集合Nの要素1がある性質Aを満たすとき、集合Nの要素nが性質Aをもち、かつnの後に続く数も性質Aをもつならば、集合Nの全ての要素は性質Aをもつ。

この時、Nを自然数の集合といい、Nの要素を自然数という。

 

次に、+という記号に注目してみます。これも定義しておきます。集合Nのある要素nについて、n+1=nの後に続く数、という関係が成り立つとします。

 

今、aという仮の自然数を考えます。これに別の自然数a’の後に続く数を足すとします。このとき、a+(a’+1)=(a+a’)の後に続く数、という関係が成り立つとします。また、自然数aに対してa+0=aが成り立つとします。

 

ここに、材料の準備が整いました😉。今約束した数字と記号の定義から、1+1=2は真である、という命題を証明していきます。

 

ペアノの公理(1)より、1は自然数であることが認められました。次に(2)より、1の後に続く数に対応するものがただ1つあることがわかります。これを2と表す、とします。

 

今、a=1とすると、a+(0+1)は1+1です。これは1の後に続く数です。1の後に続く数は先ほど2と表そうと決めました。よって、左辺が1+1、右辺が2。つまり、1+1=2となります。

 

このように、自然数のイメージや具体的なものを使わなくても、記号によって1+1=2という結果を得ることができます。

 

ペアノは、数学を、直感を使わずに論理だけで作っていくことを研究の目的としていました。また、少し異なるアプローチとして、フランス出身の数学者、ルネ・デカルトは、直感が必要だった幾何学を座標を用いることで、計算に落とし込みました。

 

記号は慣れるまでは手触りの悪いものです😢。実は直感やセンスがあるかどうかに関係なく、どんな人でも数の不思議に触れることができるようにしてくれる、それは心強い味方なのです👍

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